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Matematica

Vita e miracoli del triangolo di Tartaglia-1


Utilizzerò in questa descrizione il triangolo costruito nell’articolo Come costruire un triangolo di Tartaglia elettronico, per cui vi consiglio di leggerlo e di costruire anche voi un triangolo, così che possiate verificare anche voi le numerose proprietà di questa spettacolare figura.

NB Il triangolo di Tartaglia è presentato di solito nella forma a piramide, e questo palesa la simmetria presente in essa, che la nostra costruzione invece nasconde un po’. Il lato appoggiato al lato sinistro del vostro schermo ed il lato obliquo sono gli estremi della simmetria. Quindi le regolarità che troviamo sulle colonne si trovano riflesse anche sulle linee oblique.

1 Se la prima colonna presenta una noiosa serie di 1 e la seconda un’ancora più noiosa linea dei numeri naturali, la terza colonna presenta già qualcosa di notabile, e notevole: la successione dei numeri triangolari.

I  numeri triangolari possono essere considerati come la somma, livello dopo livello, degli elementi, disposti come i birilli del bowling, necessari alla formazione di un triangolo. Sono oggetto di studio dei matematici fin da quando Pitagora le descrisse, nel VI° secolo a.C. e possiedono numerose proprietà (provate a sommare due numeri triangolari successivi, non sorprendetevi se risultano sempre numeri quadrati). Torneremo sicuramente a studiarli più da vicino, in un successivo articolo.


tartaglia numero triangolare triangolo proprietàOvviamente non è un caso ritrovare in questa figura la suddetta serie. Se analizzate la cascata delle somme noterete che la somma dei numeri di una colonna, calcolata fino ad una certa riga, si trova nella cell nella colonna a destra e nella riga sotto. Questo funziona per la colonna noiosa dei numeri naturali e funziona per tutte le colonne.

2 Sempre per questa proprietà troviamo nella quarta colonna i numeri tetraedici, (il nome dice cosa rappresentano) familiari dei triangolari. Siamo passati dalla bidimensionalità alla tridimensionalità, e andando avanti le dimensioni aumentano, sebbene non siamo in grado di concepirli nel nostro spazio.

Tartaglia triangolo numeri serie fibonacci

3 Anche la successione di Fibonacci fa la sua comparsa nel triangolo, e potete trovarli calcolando la somma delle diagonali come visualizzato qui di fianco

Questa serie fu pensata dal matematico pisano del XII secolo nell’intento di trovare una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli.

Assumendo che: la prima coppia diventi fertile al compimento del primo mese e dia alla luce una nuova coppia al compimento del secondo mese; le nuove coppie nate si comportino in modo analogo; le coppie fertili, dal secondo mese di vita, diano alla luce una coppia di figli al mese; avremo che se partiamo con una singola coppia dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile, e dopo due mesi due coppie di cui una sola fertile, nel mese seguente avremo 2+1=3 coppie perché solo la coppia fertile ha partorito, di queste tre ora saranno due le coppie fertili quindi nel mese seguente ci saranno 3+2=5 coppie, in questo modo il numero di coppie di conigli di ogni mese descrive la successione dei numeri di Fibonacci.

Da allora questa serie si è talmente arricchita di particolarità e proprietà da avere un periodico tutto suo, il “The Fibonacci Quaterly” ed ha stretto legami con numerosi campi del sapere, nella geometria, nello studio dei frattali, in chimica, nella musica, in botanica,  nell’informatica nell’arte, nell’economia et cetera, ma sempre si deve pensare, anche con un certo romanticismo, alla prima copia di conigli da cui tutto ebbe origine.

4 La  somma di ogni riga è una potenza del due, e la spiegazione è semplice. Ogni riga genera quella sottostante per somma ed ogni elemento della riga di partenza partecipa due volte alle somma, “a destra e a sinistra”, e quindi la somma degli elementi della generata è doppia rispetto a quella della generatrice.

1 = 1 = 2^0

1+1=2=2^1

1+2+1=4=2^2

1+3+3+1=8=2^3

5 Ogni riga è una potenza dell’11

1=11^0

11=11^1

121=11^2

1331=11^3

14641=11^4

1 5 10 10 5 1 = (somma come dalle unità) 1 5 0 1 6 1 = 161051 = 11^5

Dopo la 5a riga si devono infatti sommare le decine (e poi le centinaia) con l’unità del numero che precede

6 Il triangolo di tartaglia contiene altri triangoli, simili, al suo interno, bisogna solo “illuminarli” grazie alla teoria dei resti.

Alle elementari si impara a fare le divisioni con quoziente e resto, cosa che poi si “dimentica” e si considera “incompleto” quando, più avanti, si impara a scindere l’unità e a lavorare coi decimali. Tuttavia il resto è molto importante nella teoria dei numeri, nella branca delle congruenze di cui l’Aritmetica modulare si occupa, vedete QUA per averne un’infarinatura.

E’ ora di riprendere il nostro triangolo creato sul foglio elettronico e di gettare luce sui triangoli nascosti: andremo ad evidenziare i numeri pari e dispari, i multipli di 3,4,5 e così via. Calcoleremo prima i resti delle divisioni per i numeri dei quali ci interessano i multipli e poi utilizzeremo la formattazione condizionale per evidenziare le celle contenenti “zero”. Dato che non ci interessa più sapere quale numero si trova all’interno delle celle, possiamo ridurne la dimensione per poter vedere più facilmente le figure geometriche che s’illumineranno.

Procedura

  • Copiamo il foglio di lavoro, all’interno della cartellatartaglia triangolo modulo 2 pari dispari
  • Posizionatevi su A1 ed al posto dell’1 inserite =RESTO(Foglio1.A1;2)  che richiama la funzione resto, il primo termine è il dividendo ed il secondo il divisore. [=MOD(Sheet1.A1;2) per la versione del programma in inglese]
  • Estendiamo, come abbiamo fatto la volta scorsa, la formula fino a coprire tutto il nostro triangolo, trascinando prima lungo una colonna, e poi la colonna lungo le righe, o viceversa.
  • Se state usando Open Office calc e avete applicato la formattazione per cui le celle contenenti uno zero appaiono vuote, già ora dovrebbe apparire il disegno.
  • Potete però creare anche uno stile personalizzato, andando su Formattazione > Stili e formattazione oppure più velocemente premendo F11 sulla tastiera. Nella finestra di dialogo che appare cliccate col pulsante destro del mouse nello spazio bianco e selezionate “New” . Definite il nuovo stile, dategli un nome appropriato e chiudete la finestra.
  • Ora selezionate il tutto il triangolo (non serve percorrere la diagonale, basta selezionare tutte le celle del rettangolo che contiene il rettangolo. Aprite ora Formattazione > Formattazione condizionale ed impostatelo come qua sotto.

Formattazione condizionale excel open office calc

Find even è il nome dello stile personalizzato che ho creato e con questo stile verranno formattate tutte le celle che non contengono zero.

Triangolo di Tartaglia mod2

Tartaglia aritmetica modulare resto mod 2 pari dispari

Triangolo di Tartaglia mod3

Triangolo tartaglia aritmetica modulare resto 3

Triangolo di Tartagli mod5

Triangolo tartaglia aritmetica modulare mod 5

Triangolo di Tartaglia mod7

triangolo tartaglia aritmetica modulare resto 7

Avete notato qualcosa nel numero e nella disposizione dei triangoli?

In attesa del prossimo episodio divertitevi a scoprire quali triangoli si formeranno, come risponderà il triangolo di Tartaglia ai vari moduli che le sottoporrete. Inviateci le vostre immagini via mail all’indirizzo Temitope.a@live.it oppure hostandole su internet e commentando inserendo il link: le pubblicheremo.

Nel prossimo articolo analizzeremo aspetti del triangolo relativi ai coefficienti binominiali, ed ai binomi di newton. Se è pane per i vostri denti allora non potete mancare, se no, presenterò comunque l’argomento di modo che i non addetti alla materia possano comunque comprendere parte della bellezza di tutto questo. Sottoscrivetevi al blog per riceverete direttamente tramite e-mail un avvertimento quando verrà pubblicato l’articolo.

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Discussione

6 pensieri su “Vita e miracoli del triangolo di Tartaglia-1

  1. Eccomi a commentare.
    Bhe, non posso darti un parere su tutto quello che hai scritto perchè io e la matematica non siamo proprio ciò che si può definire affini. Comunque, ammiro tantissimo la tua testa: sei davvero una delle persone più intelligenti che conosca. : )

    Pubblicato da Vale | 15 agosto 2010, 15:39
  2. Il triangolo di Tartaglia nasconde un sacco di segreti, dovuti al fatto stesso di come il triangolo è ottenuto. La sequenza di Fibonacci non l’avevo notata…
    Attendo fiducioso la prossima puntata!
    LA

    Pubblicato da Lucio Anneo | 15 agosto 2010, 15:53
  3. E pensare che quando i cinesi le pensarono 800 anni fa, non potevano realisticamente conoscere nemmeno il 10% delle proprietà che conosciamo oggi. Questo ed altro mi spinge a dire che la matematica si scopre, non si inventa.

    Pubblicato da Temitope.A | 15 agosto 2010, 16:34
  4. Non posso che essere d’accordo!

    LA

    Pubblicato da Lucio Anneo | 15 agosto 2010, 18:10

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