//
you're reading...
Matematica, Scienza

Vita e miracoli del triangolo di Tartaglia – 2


Abbiamo visto qui alcune relazioni tra il triangolo di Tartaglia ed alcune famose serie e potenze numeriche, continuo ora il viaggio alla scoperta dei segreti più reconditi di questa piramide, addentrandoci più a fondo in alcuni dei nodi più importanti della matematica discreta.

Quasi simmetricamente al fatto che la somma di ogni riga sia una potenza del due, notiamo che ogni riga, presa così come è, contiene i coefficienti delle potenze del binomio, la cui legge è stata scoperta da Newton e rappresenta uno delle sue opere più importanti in campo matematico.

Immaginiamo di creare un sistema di coordinate n(verticale) e k(orizzontale) numerando ogni riga del triangolo partendo da “0” ed ogni posto (nella riga) partendo da “0”. Otteniamo che per scrivere la soluzione del binomio (a+b)^n bisogna scendere alla n-esima riga e moltiplicare ogni numero per a^(n-k) e b^(k) prendendo la posizione (n,k) di ogni punto.

Triangolo Tartaglia Nicolò fontana segreti magie

Ho indicato qui sopra la posizione dei numeri in questo modo (n,k) come sul piano cartesiano, ma in realtà la letteratura scientifica la indica in questo modo e si legge “enne su cappa”coefficiente binominiale

Con n che indica la riga e k che indica il posto, come ho detto poc’anzi; proprio per  questo viene detto coefficiente binomiale, perché utilizza due “nomi” per trovare un numero. Si può dunque riscrivere il triangolo di Tartaglia in questo modo

Triangolo di Pascal Tartaglia coefficienti binominialiCosì se vi dico di prendere il numero (6 su 5) dovete scendere alla 6° riga e prendere il numero che occupa il posto 5. Se vi dico invece di trovare il numero (25 su 20) le cose cominciano a farsi difficili, o costruite il triangolo come vi ho insegnato qui, o vi dovete avvalere del lavoro dei matematici che, fortunatamente, ci hanno preceduto ed hanno saputo creare la formula per calcolare il valore dei coefficienti binomiali senza ricorrere alla costruzione del triangolo.

probabilità combinazioni calcolo combinatorio triangolo tartagliaConoscete questo elemento? E’ la formula per calcolare il numero di combinazioni senza ripetizione di n elementi di classe k; o, detto in parole povere, il numero di modi in qui posso selezionare k elementi in un gruppo di n elementi, senza preoccuparmi dell’ordine in cui li scelgo e senza ripetere alcuna scelta. Chi se lo sarebbe mai aspettato, che il triangolo,  costruzione banale ottenuta per somme successive, si potesse rivelare utile anche nel calcolo combinatorio, oltre che contenere le serie più importanti della matematica, alcune potenze ed i frattali?

Non lo poteva sapere Zhu Shijie, che per primo lo disegnò e lo descrisse nel 1303, non lo poteva sapere Niccolò Fontana, che lo descrisse nel “General trattato di numeri et misure” del 1560; arrivò più lontano di loro Blaise Pascal che nel 1654 ne fece gran uso nei suoi lavori sulla probabilità (Traité du triangle arithmétique). E’ per questo che all’estero è noto come Triangolo di Pascal, siamo tra i pochi a legarlo al nome del bresciano.

Io ne dirò, quando che li francesi saccheggiorno Bressa…oltre che ne fu svalisata la casa, ma più che essendo io fugito nel domo de Bressa insieme con mia madre et mia sorella et molti altri huomini, credendone in tal luogo esser salvi, ma tal pensiero ne andò fallito perchè alla presentia de mia madre mi fu date cinque ferrite mortale, cioè tre sulla testa et due sulla fazza fra le quale una me ne haveva à traverso la bocca et denti, la quale della masella et la medesima della inferiore, per la qual ferrita, non solamente io non poteva parlar, ma neanche poteva manzare, perché io non poteva movere la bocca né le masselle in conto alcuno, per essere quelle (come detto) insieme con li denti tutte fracassate, talmente che bisognava cibarme solamente con cibi liquidi e grande industria…

Or essendo io quasi guarito di quelle ferite, stetti un tempo che io non poteva ben proferire parole, ma sempre balbuttava nel parlare per causa di quella ferita a travero la bocca et i denti (non ancor ben consolidati), per il che li punti della mia età con chi conversava me impossero per sopra nome Tartaglia. Et perché tal cognome me durò molto tempo, per bona memoria di tal mia disgrazia m’è apparso de volermi chiamare per Nicolò Tartaglia.

Niccolò Fontana

Il saccheggio di cui il matematico parla, è quello del 1511, operato dai francesi in risposta alla Lega Santa istituita da papa Giulio II con Venezia, Spagna e Inghilterra. E’ così che gli “oggetti” matematici di cui facciamo uso oggi si legano alle storie personali di uomini e donne, e queste sono mosse, come i nostri abiti in tempo ventoso, dai grandi eventi della Storia.

Discussione

Non c'è ancora nessun commento.

Lascia un commento

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

In passato…

%d blogger cliccano Mi Piace per questo: