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Matematica

Una funzione per incatenarli tutti – parte 1


 

Uno scorcio dietro le quinte

Consideriamo l’insieme degli articoli di questo blog e l’insieme dei giorni a partire dalla sua apertura; viene naturale stabilire delle relazioni tra il primo ed il secondo insieme; per cui, dato un articolo, si possa risalire alla data in cui è stato scritto o, dato un giorno, trovare l’articolo o (più raramente) gli articoli scritti quel giorno. In effetti queste sono due caratteristiche fondamentali ed implementati in tutti i blog. L’applicazione che permette di passare da un insieme all’altro, rappresentato, per esempio, dal calendario presente nella homepage di molti blogs, è detto funzione. Lo si può immaginare come un elaboratore logico, o elettronico, che riceve diversi input (variabili indipendenti) e presenta i relativi outputs (variabili dipendenti).

Bisogna però fare attenzione, perché qualsiasi elaboratore (cervello escluso) prende in considerazione un input alla volta e può presentare un solo output. Se ci sembra che ne presenti più di uno è perché ci sono più funzioni affiancate (questo potrebbe non essere necessario in un comtpuer quantistico). Questo ci porta, in campo matematico, alla prima e fondamentale condizione d’esistenza di una funzione. Ad ogni valore d’entrata deve corrispondere tutt’al più un solo valore d’uscita. Nell’esempio visto sopra, l’applicazione che porta dall’insieme degli articoli (A) a quello dei giorni (G) è una funzione, perché, ovviamente, la data di pubblicazione di un articolo è unica, mentre l’applicazione inversa, che porta dall’insieme dei giorni agli articoli, non lo è, perché alcuni giorni hanno visto la pubblicazione di due o più articoli (forse in altri blogs :)). Inoltre, della funzione che abbiamo ora definito, si definisce dominio l’insieme degli articoli che abbiamo pubblicato, mentre altri riposano, al momento, nel cestino del blog o sono ancora allo stato di bozze. Analogamente, si definisce codominio l’insieme dei giorni in cui è stato pubblicato almeno un articolo. Dato che il tentativo di invertire la nostra funzione A→G non è andato a buon fine, capiamo anche che la nostra funzione non è biunivoca, se invece lo fosse stata sarebbe dovuta essere funzione anche G→A (ad ogni elemento di G sarebbe dovuto corrispondere un solo elemento di A). Un esempio di funzione biunivoca è, per restare in tema, la relazione tra gli indirizzi internet di secondo livello del tipo http://www.xxx.wordpress e l’insieme dei blog di questo circuito. La relazione che v’è tra gli articoli ed i tags invece non è nemmeno una funzione, perché ad un articolo possono corrispondere svariati tags.

Definiamo per esempio la funzione che porta dai giorni del mese di aprile (insieme che chiamiamo in breve X ed i cui elementi saranno x generici) ai giorni della settimana (insieme Y, con elementi y); il suo dominio è evidentemente rappresentato dai 30 giorni, mentre il codominio è costituito dai 7 giorni della settimana. Ad ogni x corrisponde una sola y, ma non viceversa, perché oggi è giovedì 7, ma avremo ancora giovedì 14, 21 e 28. Dunque, non è biunivoca, o altrimenti detto, la relazione inversa Y→X non è una funzione.

Consideriamo ora l’insieme A|a=tutti i numeri tra 1 e 9 (compresi), l’insieme B|b=somma delle cifre di (a·9)-5 e C|c=nome dell’animale della savana la cui iniziale è la terza lettera del nome del colore la cui iniziale è la terza lettera del nome dello stato europeo, le cui possibili iniziali sono gli elementi dell’insieme B . Definiamo la funzione f(g(h(a))), ossia una composizione di tre funzioni seguendo le regole sopra esplicate. Se inserite dei valori z a caso, prima ancora di notare una particolarità nel codominio, vi troverete a domandarvi cosa ci faccia un rinoceronte nero in Danimarca.

Funzione iniettiva

In cosa consistono l’iniettività e la suriettività delle funzioni, termini che probabilmente vi sarà capitato di udire? La radice -iettivo (dal latino iacio = gettare) comune ad entrambi allude al movimento tra il primo ed il secondo insieme. Una funzione iniettiva si getta tutto il primo insieme dentro il secondo, non si verifica che un elemento del secondo abbia più corrispondenze nel primo ma non garantisce che ad ogni elemento del secondo corrisponda uno del primo, questo è il caso di A→G, dato che ci sono giorni (molti ultimamente) privi di pubblicazioni.

Funzione suriettiva

 

Una funzione suriettiva, invece, getta gli elementi del primo insieme sopra quelli del secondo, lo ricopre, sovrabbondando. Più elementi del primo corrispondono allo stesso elemento del secondo (hanno la stessa immagine), e non ci sono elementi del secondo privi di una corrispondenza nel primo; questo è il caso di X→Y. Una piccola riflessione vi porterà a stabilire che nel caso una funzione sia iniettiva e suriettiva insieme, allora è anche biettiva o biunivoca.

 

Questa premessa è doverosa, perché è molto facile associare il concetto di funzione a ƒ(x)=equazione, quando invece non è solo questo, e perché penso che capire in che cosa sussista e come possa declinarsi la relazione tra due insiemi, sia fondamentale per una comprensione più profonda anche delle funzioni matematiche.

Discussione

10 pensieri su “Una funzione per incatenarli tutti – parte 1

  1. Oh my god…..

    Pubblicato da irisilvi | 7 aprile 2011, 16:56
  2. Temitope, questo articolo è meraviglioso: preciso, ma soprattutto divertente!! ( quella del rinoceronte era stupenda, mi sa che ti citerò su FB xD )
    Complimenti!

    Pubblicato da Lorenzo | 11 aprile 2011, 19:44
  3. Complimenti. Bellissimo articolo.

    Mi è sempre piaciuta questa definizione di relazione (che quindi comprende anche le funzioni):

    R ⊂= X x Y
    (dove ⊂= sta per “incluso o uguale” e la x minuscola sta per il prodotto cartesiano)

    La relazione è stabilita tra due insiemi qualsiasi, e non riguarda necessariamentte numeri.

    Pubblicato da chri | 16 maggio 2011, 21:12

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  1. Pingback: Una funzione per incatenarli tutti – parte 2 « Scripta Manent - 13 aprile 2011

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