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Matematica

Una funzione per incatenarli tutti – parte 2


Cosa è una funzione?

L’ho spiegato nel post precedente, qui.

Cosa è una funziona matematica?

Le funzioni matematiche mettono in relazione due insiemi, contenenti numeri, e possono essere espresse mediante relazioni matematiche. Un grosso vantaggio in questo risiede nella facilità di rappresentazione di queste funzioni. Lo si può fare efficacemente su un piano opportunamente dotato di un sistema di riferimento come quello cartesiano; finché, e bisogna dirlo, si ha a che fare con l’insieme dei numeri reali. L’applicazione che collega il numero di articoli pubblicati nel mese, al mese stesso, non è una funzione matematica, dipende invece dalla nostra voglia e dalle nostre fatiche. Si può invece pensare di trovare l’equazione che collega la popolarità di un blog, espressa in visite giornaliere, al volume di spam che attira.

f(x) = x+2 è una funzione che aggiunge 2 al valore d’entrata. Se volessimo rappresentarlo su un piano cartesiano dovremmo evidenziare tutti i punti del piano con ordinata maggiore di ragione 2 dell’ascissa.

Quando hai parlato di insiemi di numeri, cosa intendevi?

Se ti chiedessi di rappresentarmi l’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano, probabilmente tracceresti una nuova su un foglio e vi inseriresti i 21 segni che costituiscono il nostro alfabeto. Gli insiemi dei numeri sono del tutto analoghi, sebbene presentino spesso due caratteristiche affascinanti: l’illimitatezza e la continuità. I primi di cui abbiamo fatto conoscenza, sia come individui che ovviamente come specie, sono i cosiddetti numeri naturali, 1…2…3…, quelli che sii possono contare sulle dita (lo 0, sebbene arrivi logicamente prima, cronologicamente è stato rinvenuto dopo). Il rapporto tra due di questi numeri è detto razionale, perché è comunque misurabile, essi sono a loro volta sottogruppo dei reali, che comprendono anche i numeri irrazionali, ossia non riducibili a frazioni. Si apre un lungo discorso in realtà, che verte sul significato stesso dei numeri e della matematica, ma di questo parlerei in altre occasioni.

A cosa serve una funzione ?

Le funzioni trovano, all’interno dell’insieme dei numeri, quelle che sottostano a determinate regole. Le prime furono scoperte ragionando attorno agli enti geometrici, che in passato e nella mentalità comune anche oggi, godono di una fiducia assai maggiore di quella che si ripone negli enti matematici. La famosa formula dell’area del rettangolo, base x altezza, è una funzione. Possiamo scriverla come

A(b,h)=b * h

Ma aspetta un attimo! Avevi detto che le funzioni prendono in considerazione un solo valore per volta.

E’ vero. Ma questa alla fin fine è una combinazione di funzioni; una  che inserisce nella macchina il primo valore e un altro che opera la moltiplicazione con l’altro valore. Infatti qui abbiamo a che fare con tre insiemi, quello delle basi (B), quello delle altezze (H) e quello delle aree (A). Secondo la definizione insiemistica delle funzioni, dato nel post precedente, le relazioni possono collegare solo due insiemi per volta. Considerarne 3, come in questo caso, vuol dire fissare, dii volta in volta, un valore all’interno di uno dei due insiemi di partenza, da usare come parametro nella funzione tra i rimanenti due. Ci sono altre definizioni per le funzioni, nella letteratura matematica, ma anche questo è oggetto di altre discussioni.

Puoi continuare

Dunque, fissata una base, la funzione dell’area si può esprimere in questo modo.

A(h) =bh

E’ una retta. Il bello del tradurre algebricamente le funzioni sta nella semplicità di studio del comportamento delle variabili. Potremo ora, fissata un’area, trovare la copia di valori (b,h) che dà il perimetro minimo, per esempio. Circonferenze, ellissi, parabole ed iperboli, oltre a piramidi, dodecaedri ed altri solidi, hanno ispirato molte altre funzioni più complesse. La formula dell’area del cerchio, dato il raggio A(r)=PI * r^2 è un arco di parabola. Anche la fisica è ispiratrice e ricettacolo dello studio delle funzioni matematiche. Una grossa parte delle leggi fisiche è esprimibile come funzione. Le intensità sonore, tra le altre cose, seguono una scala logaritmica, mentre la corrente alternata ha un andamento sinusoidale. Queste e molte altre cose te le mostrerò la prossima volta. Ancora un po’ di pazienza.

Discussione

Un pensiero su “Una funzione per incatenarli tutti – parte 2

  1. Uffa Temitope se troooopppppoooo intelligente per me!

    Pubblicato da irisilvi | 16 aprile 2011, 17:44

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